Задачка.

[Сельская Сеньора]

«Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 часа и 45 минут. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит ещё 1 час и 45 минут с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления».

Сколько? Через что решали? За какое время?

ЗЫ Предыстория: ««О, сколько нам открытий чудных…»

В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая (я думаю, наши восьми-, а может, и семиклассники ее бы оценили): «Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 часа и 45 минут. Затем направление движения меняется на заданный угол (60 ), и воздушный шар летит еще 1 час и 45 минут с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления». Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал ее решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и возвысил было голос, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит… » И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы). Из моих пятидесяти учеников примерно половина даже не попыталась ее решать, а у тех, кто сделал такую попытку, спектр полученных ответов простирался от 104 метров до 108 500 километров. Отдавая работу той студентке, которая умудрилась получить расстояние в 108,5 тысячи километров, я попытался было воззвать к ее здравому смыслу: дескать, ведь это два с половиной раза облететь вокруг земного шара! Но она мне с достоинством ответила: «Да, я уже знаю — это неправильное решение». Такие вот дела…»

Из книги А. Никонова "Конец феминизма".

ЗЗЫ Еще предыстория - одна мадам утверждает, что эту задачу можно решить без синусов-косинусов... То ли я туплю, то ли ей просто дали ответ, а она выеживается...

Comments

[~Банни~]

Не выёживается. Ответ 52,5?

[Сельская Сеньора]

Нет...

[~Банни~]

Стоп. Если это были взлет и посадка, то 35.

[Dr_Raul]

35 км. и ее действительно можно без синусов решить... трейгольник получается правильный. все стороны и углы равны

[Сельская Сеньора]

То есть треугольник НЕравносторонний (а то некоторые рисуют треугольник с углами 60 градусов - то есть равносторонний - и говорят, что ответ 35 км, но тогда направление изменилось не на 60, а на 120 градусов!).

[~Банни~]

Ээээ, а по-моему как раз на рисунке направление на 120 градусов и изменилось.

[Сельская Сеньора]

Если провести высоту (она же медиана, она же биссектриса, т.к. треугольник равнобедренный), мы получим два абсолютно одинаковых треугольника (АС= АВ по условию, АА1 - общая сторона, угол АСВ=АВС, угол СА1А=ВА1А).

Нам надо узнать длину СА1 и умножить ее на 2.

Нам известен угол ВСА (30 градусов) и СА (35 км). Косинус 30= (корень из 3)/2. Косинус ВСА = СА1/35. Отсюда: СА1/35 = (корень из 3)/2. Отсюда: СА1 = 35*(корень из 3)/2 (Аналогично можно сделать через синус САА1.)

ВС = 2СА1 = 35*(корень из 3) = 35*1,735=60,725


А вот как это решить БЕЗ синусов-косинусов - я не понимаю...

[Сельская Сеньора]

~Банни~, Dr_Raul, почему??? Направление полета изменилось на 60 градусов: летел прямо, взял чуть левее (правее), а чтобы получился равносторониий треугольник, надо развернуться круто назад - на 120 градусов (что не соответствует условиям задачи).

[Сельская Сеньора]

Из С до А летел в одном направлении, повернул на 60 градусов и полетел от А до В.

[~Банни~]

Ну, если картинка действительно такая, то без косинусов-синусов через теорему Пифагора.

[Сельская Сеньора]

Как? У прямоугольного треугольника (половинка большого) нам известна только гипотенуза - 35 км, а большой треугольник - непрямоугольный, там а2+в2=с2 - не действует... Все равно нужны синусы-косинусы... Выдайте мне решение без синусов-косинусов - я поверю.

ЗЫ Мадам дала число то же, что и я - 60 км с копейками, но утверждает, что решала без синусов-косинусов... Развейте мою серость.

[~Банни~]

Сельская Сеньора, у прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов, катет противоположный 30 градусам = половине гипотенузы (доказывается через достраивание до равностороннего треугольника). Имеем две стороны, теоремой Пифагора получаем третью. Ее множим на 2 и получаем то, что нужно.

А правильный ответ вы знаете? Именно эти 60 с копейками?

[Chechaka]

есть треугольник АВС.. шарик летит из вершины А в вершину В со скоростью 20 км/ч в течение 1ч 45 минут.. итого получаем 35 км длина стороны АВ.. далее он начинает снижаться под углом 60 градусов (ибо потом из текста задачи следует, что он приземлился..), т.е. из вершины В к вершине С он летит со скоростью 20 км/ч в течение 1ч 45 минут. значит можно слделать вывод, что наш треугольник равнобедренный. АВ=ВС и угол АВС = 60 градусам.. дальше следует наш косинус..

без косинусов включаем логику:
проведем из высоты В медиану ВД на основание равнобедренного треугольника, т.е. на АС.. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. т.е. угол АДВ = 90 градусом.. а треугольник АВД является прямоугольным, в котором угол АВД = 30 градусов.. теперь вспоминаем, что в прямоугольном треугольнике сторона противолежащая углу 30 градусов равна половине гипотенизе.. можно показать это через синус.. но это проще запомнить.. даже вычилять не надо.. т.е. АД= АВ/2. аналогично и с треугольником СВД.. СД=СВ/2.. т.е. АС= СД+АД= 35..

а вот отсюда уже можно считать, что треугольник равносторонний..

или вот так.. раз треугольники АВД и СВД прямоугольные и углы АВД И СВД в них равны 30 градусам.. следовательно углы ВАД И ВСД равны 60.. следовательно треугольник АВС равносторонний и АС = 35

вроде ничего не попутала..

[Dr_Raul]

Сельская Сеньора
потому что сходу не определили, куда поворачивает шар и как. нечем рисовать было.
многие в этом запутываются

[~Банни~]

Если вдруг непонятно: большой треугольник - это два равных прямоугольных.

[Сельская Сеньора]

~Банни~ -

Сельская Сеньора, у прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов, катет противоположный 30 градусам = половине гипотенузы (доказывается через достраивание до равностороннего треугольника).

- непонятно, но здорово... если честно, меня сегодня так затоптали на работе, что без чертежа я не в состоянии ничего понять... ((( Можно рисуночек?

А по поводу правильного ответа - я выше свои выкладки привела, вроде все без ошибок, к тому же тупо начертила по транспортиру и линейке (только не км, а мм ) и получилось 60-61 мм.

Chechaka, почему это он снижается под углом 60 градусов??? На 60 градусов изменилась траектория полета. Даже если шар и не завернул, а начал снижаться, все равно угол в требуемом треугольнике - 120 градусов!!!

[~Банни~]

Сельская Сеньора, я имела в виду, есть ли задачник с такой задачей и ответом к нему?

А картинка - вот:



А картинка про равносторонний треугольник с ответом 35, вот:

[Сельская Сеньора]

Chechaka, вообще всех запутала... Во-первых, в задаче не сказано, что он летел вниз... Во-вторых, если предположить, что он летел вниз, то надо искать не треугольник, а четырехугольник... И искать нам надо длину СЕ (Е - точка на карте в месте взлета).

[~Банни~]

Сельская Сеньора, в задаче много чего не сказано. Но лично мне кажется, что если там сказано, что

наши восьми-, а может, и семиклассники ее бы оценили

, то это все же вариант, который я нарисовала последним (семиклассники еще не знают теорему Пифагора, если я правильно помню). Но спорить не буду.

[Сельская Сеньора]

~Банни~, по твоему способу тоже получается 60 с копейками (приблизительно 60,6, там корень из 918,75 вытаскивать надо). Что-то я не помнила совершенно этого правила (что катет противоположный 30 градусам равен половине гипотенузы), тогда действительно все просто и без синусов.

[~Банни~]

Сельская Сеньора, это не правило, это правда жизни

[Сельская Сеньора]

Chechaka,

теперь вспоминаем, что в прямоугольном треугольнике сторона противолежащая углу 30 градусов равна половине гипотенизе.. можно показать это через синус.. но это проще запомнить.. даже вычилять не надо.. т.е. АД= АВ/2. аналогично и с треугольником СВД.. СД=СВ/2.. т.е. АС= СД+АД= 35..

Это с каких таких??? 30 градусов - угол С, катет, противоположный ему - то же ВД, поэтому ВД=ВС/2, а вовсе не СД!!! Длину ни АД, ни СД таким способом мы не узнали... Правда, узнали длину высоты ВД (одного из катетов), гипотенузу знаем и второй катет можем найти, но треугольники тем не менее НЕравносторонние!!!

или вот так.. раз треугольники АВД и СВД прямоугольные и углы АВД И СВД в них равны 30 градусам.. следовательно углы ВАД И ВСД равны 60.. следовательно треугольник АВС равносторонний и АС = 35

Стоять!!! углы АВД И СВД в них равны 60 градусам (120 пополам), а вот ВАД И ВСД равны 30 (180-90-60)... Так что в треугольнике АВС углы равны 120, 30 и 30 и равносторонним он быть никак не может...

[Сельская Сеньора]

~Банни~, кстати, 52,5 - это как раз основание того самого четырехугольника (если предположить, что шар вторую половину пути снижался, то расстояние по земле).

Только я не понимаю, с чего все взяли, что он снижался... Нам же не сказано, что он поднимался... Я думаю, что имеется в виду все-таки полет в горизонтальной плоскости... А если все-таки в вертикальной, то... Вот он, наш равносторонний треугольник...

[Сельская Сеньора]

~Банни~, пока писала и рисовала равносторонний треугольник, ты его уже выложила!!! Чесслово - не видела, только сейчас заметила.

[~Банни~]

Сельская Сеньора, да, я сначала считала, что там четырёхугольник.

ппц, ребят...извините, что вот так вот неожиданно из кустов выпрыгиваю, неизвестно кто такой, неизвестно откуда, но ваши комментарии поразительны)))

Как бы шар не летел, в какой бы плоскости, всегда равнобедренный треугольник (пофиг что длина измеряется в часах, не в этом суть) с углом в 60 градусов между равными сторонами будет равносторонним.

Другое дело, что задачка сама по себе глупая. Особенно постановка вопроса убила. Из серии "в доме девять этажей, сколько лет петиному дедушке"...Поясню. Там же чётко сказано "шар летит", значит мы не знаем откуда он стартовал, но за точку старта можно принять его координаты в момент начала полёта в этой задачи. Ладно, пусть.
Но вот когда шар приземлился, мы точно не знаем. Потому что сказано, что он повернул. Но ведь он летел на какой-то высоте, иначе бы он волочился по земле. А чтобы приземлится шару необходимо ещё время. Так что автор задачи не прав.

Сколько? Через что решали? За какое время?
35км. Через основы геометрии. За минуту в уме.

[Chechaka]

Сельская Сеньора
снижался он или нет.. каждый размышляет по своему. мне так представлять удобней..
оки, объясню сомсем просто!!!!!
пусть он движется по плоскости.. если вам так удобней..

мы можем найти расстояние АВ и ВС.. оно равно 20*1,75 = 35 км (1,75 - это 1 час 45 минут перведенные в часы) угол АВС = 60 градусам. на основании этого делаем вывод, что треугольник АВС равноБЕДРЕННЫЙ, со сторонами АВ=ВС=35, углом АВС = 60 градусам и основанием АС.. в треугольниках сумма углов равна 180 градусам. а т.к. наш треугольник равноБЕДРЕННЫЙ, то углы при основании равны (см. определение равно бедренного треугольника), а следовательно угол ВАС равен углу ВСА и равен (180-60)/2 = 120/2 = 60 (т.е. угол ВАС = угол ВСА = 60 градусам). следовательно углы в нашем треугольнике равны, а значит он равноСТОРОННИЙ. делаем вывод что АС=АВ=ВС= 35 км..

[Сельская Сеньора]

savas_live, если шар летел в горизонтальной плоскости, то откуда вы взяли 60 градусов??? Смотрите рисунок - 120 градусов угол в треугольнике! На 60 градусов шар изменил траекторию, а 180 (развернутый угол, грубо говоря, прямая, по которой он летел с некоей точкой Х - место поворота) минус 60 градусов (на сколько шар повернул) равно 120 градусов...

И не надо придумывать лишние сложности: когда стартовал, когда приземлился, сколько времени приземлялся... Когда мы решаем про рабочих, которые вдвоем сделали работу за столько-то, за сколько сделают вчетвером, мы тоже не учитываем, что Вася вечно пьяный, а Петя подолгу перекуривает... И трубы в бассейне (из которых вливается-выливается) могут засориться или проржаветь...

[Сельская Сеньора]

Chechaka, то же вопрос: почему это угол АВС - 60 градусов??? См. выше (коммент) и еще выше (чертеж) - траектория изменилась на 60 градусов, а не угол АВС - 60 градусов.

Сельская Сеньора
Хорошо, а кто сказал, что изменение направления движения на 60 градусов выглядит именно так, как показали вы?)
Опять же неточность задачи.